Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1821

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x\sin^2x\,dx

Ответ:

\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{4}\sin2x -\dfrac{1}{8}\cos2x+C

Решение

Сначала понизим степень синуса: это заменит

\sin^2x

суммой, которую можно интегрировать по частям. Используем тождество

\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}

Тогда

\int x\sin^2x\,dx =\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{1}{2}\int x\cos2x\,dx

Последний интеграл вычислим по частям:

u=x, \qquad dv=\cos2x\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=\dfrac{1}{2}\sin2x

Поэтому

\begin{aligned} \int x\cos2x\,dx &=\dfrac{x}{2}\sin2x-\dfrac{1}{2}\int\sin2x\,dx =\dfrac{x}{2}\sin2x+\dfrac{1}{4}\cos2x+C\end{aligned}

Следовательно,

\int x\sin^2x\,dx =\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{4}\sin2x -\dfrac{1}{8}\cos2x+C