Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1783

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя тригонометрические подстановки x=asin⁡tx=a\sin t, x=atg⁡tx=a\tg t, x=asin⁡2tx=a\sin^2t и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

Задача 1783

∫xx2a−x dx\displaystyle\int x\sqrt{\frac{x}{2a-x}}\,dx.
Ответ:3a2arcsin⁡x2a−x+3a2x(2a−x)+C,0<x<2a,a>03a^2\arcsin\sqrt{\dfrac{x}{2a}}
-\dfrac{x+3a}{2}\sqrt{x(2a-x)}+C,
\qquad
0\lt x\lt 2a,
\quad a>0Подынтегральная функция определена при 0⩽x<2a0\leqslant x\lt 2a. Полученная формула является первообразной на (0,2a)(0,2a) и непрерывно продолжается в точку x=0x=0.

Решение

Пусть a>0a>0. Для корня нужно x2a−x⩾0\dfrac{x}{2a-x}\geqslant0 и x≠2ax\ne2a. Отсюда область определения имеет вид0⩽x<2a0\leqslant x<2aНа внутреннем промежутке 0<x<2a0<x<2a обе части дроби станут квадратами синуса и косинуса, если положитьx=2asin⁡2t,0<t<π2x=2a\sin^2t,
\qquad
0<t<\dfrac{\pi}{2}Тогдаdx=4asin⁡tcos⁡t dt,2a−x=2acos⁡2t,x2a−x=tg⁡tdx=4a\sin t\cos t\,dt,
\qquad
2a-x=2a\cos^2t,
\qquad
\sqrt{\dfrac{x}{2a-x}}=\tg tЧтобы вычислить получившийся интеграл, понизим степень синуса:sin⁡4t=(1−cos⁡2t2)2=3−4cos⁡2t+cos⁡4t8\begin{aligned}
\sin^4t
&=\left(\dfrac{1-\cos2t}{2}\right)^2=\dfrac{3-4\cos2t+\cos4t}{8}
\end{aligned}После подстановки подынтегральное выражение упрощается:xx2a−x dx=(2asin⁡2t)tg⁡t (4asin⁡tcos⁡t dt)==8a2sin⁡4t dt\begin{aligned}
x\sqrt{\dfrac{x}{2a-x}}\,dx
&=(2a\sin^2t)\tg t\,(4a\sin t\cos t\,dt)=\\
&=8a^2\sin^4t\,dt
\end{aligned}Получаем∫xx2a−x dx=8a2∫sin⁡4t dt==3a2t−2a2sin⁡2t+a24sin⁡4t+C\begin{aligned}
\int x\sqrt{\dfrac{x}{2a-x}}\,dx
&=8a^2\int\sin^4t\,dt=\\
&=3a^2t-2a^2\sin2t+\dfrac{a^2}{4}\sin4t+C
\end{aligned}Выразим полученные величины через xx:t=arcsin⁡x2a,sin⁡2t=x(2a−x)a,cos⁡2t=a−xa,sin⁡4t=2(a−x)x(2a−x)a2\begin{aligned}
t&=\arcsin\sqrt{\dfrac{x}{2a}},
&\sin2t&=\dfrac{\sqrt{x(2a-x)}}{a},\\
\cos2t&=\dfrac{a-x}{a},
&\sin4t&=\dfrac{2(a-x)\sqrt{x(2a-x)}}{a^2}
\end{aligned}Подставим найденные выражения для sin⁡2t\sin2t и sin⁡4t\sin4t и приведём подобные слагаемые:−2a2sin⁡2t+a24sin⁡4t=−2ax(2a−x)+a−x2x(2a−x)==−x+3a2x(2a−x)\begin{aligned}
-2a^2\sin2t+\dfrac{a^2}{4}\sin4t
&=-2a\sqrt{x(2a-x)}
+\dfrac{a-x}{2}\sqrt{x(2a-x)}=\\
&=-\dfrac{x+3a}{2}\sqrt{x(2a-x)}
\end{aligned}Следовательно,∫xx2a−x dx=3a2arcsin⁡x2a−x+3a2x(2a−x)+C\int x\sqrt{\dfrac{x}{2a-x}}\,dx
=3a^2\arcsin\sqrt{\dfrac{x}{2a}}
-\dfrac{x+3a}{2}\sqrt{x(2a-x)}+C