Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1804

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x\arctg x\,dx

Ответ:

\dfrac{x^2+1}{2}\arctg x-\dfrac{x}{2}+C

Решение

Производная

\arctg x

равна

\dfrac{1}{1+x^2}

, поэтому после интегрирования по частям останется рациональная дробь. Положим

u=\arctg x, \qquad dv=x\,dx, \qquad du=\dfrac{dx}{1+x^2}, \qquad v=\dfrac{x^2}{2}

Тогда

\begin{aligned} \int x\arctg x\,dx &=\dfrac{x^2}{2}\arctg x -\dfrac{1}{2}\int\dfrac{x^2}{1+x^2}\,dx=\\ &=\dfrac{x^2}{2}\arctg x -\dfrac{1}{2}\int\left(1-\dfrac{1}{1+x^2}\right)dx=\\ &=\dfrac{x^2+1}{2}\arctg x-\dfrac{x}{2}+C\end{aligned}