Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1791

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\ln x\,dx

Ответ:

x\ln x-x+C, \qquad x>0

Решение

В вещественных числах подынтегральная функция определена при

x>0

. Производная

\ln x

проще самого логарифма, поэтому за

u

возьмём именно его и применим формулу интегрирования по частям

\int u\,dv=uv-\int v\,du

Положим

u=\ln x, \qquad dv=dx, \qquad du=\dfrac{dx}{x}, \qquad v=x

Тогда

\begin{aligned} \int\ln x\,dx &=x\ln x-\int x\,\dfrac{dx}{x} =x\ln x-x+C\end{aligned}