Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1800

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x\sh x\,dx

Ответ:

x\operatorname{ch} x-\operatorname{sh} x+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Множитель

x

исчезнет после дифференцирования, поэтому применим интегрирование по частям и положим

u=x, \qquad dv=\operatorname{sh} x\,dx, \qquad du=dx, \qquad v=\operatorname{ch} x

Тогда

\begin{aligned} \int x\operatorname{sh} x\,dx &=x\operatorname{ch} x-\int\operatorname{ch} x\,dx =x\operatorname{ch} x-\operatorname{sh} x+C\end{aligned}