Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1827

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\cos(\ln x)\,dx

Ответ:

\dfrac{x}{2}\bigl(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\bigr)+C, \qquad x>0

Решение

При

x>0

положим

t=\ln x, \qquad x=e^t, \qquad dx=e^t\,dt

После замены обозначим

L=\int e^t\cos t\,dt, \qquad K=\int e^t\sin t\,dt

Дифференцируя косинус или синус и интегрируя экспоненту по частям, находим по одной первообразной (постоянную добавим в конце):

L=e^t\cos t+K, \qquad K=e^t\sin t-L

Подставим второе равенство в первое:

\begin{aligned} L&=\int e^t\cos t\,dt =e^t\cos t+\int e^t\sin t\,dt =e^t(\cos t+\sin t)-L\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\cos(\ln x)\,dx &=\dfrac{e^t}{2}(\sin t+\cos t)+C=\\ &=\dfrac{x}{2}\bigl(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)\bigr)+C\end{aligned}