Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1782

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя тригонометрические подстановки

x=a\sin t

x=a\tg t

x=a\sin^2t

и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

\displaystyle\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\,dx

Ответ:

a\arcsin\dfrac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C, \qquad -a\lt x\lt a, \quad a>0

Подынтегральная функция определена при

-a\leqslant x\lt a

. Полученная формула является первообразной на

(-a,a)

и непрерывно продолжается в допустимую точку

x=-a

Решение

Пусть

a>0

. Подкоренная дробь неотрицательна, когда

a+x\geqslant0

a-x>0

. Поэтому область определения имеет вид

-a\leqslant x<a

На внутреннем промежутке

-a<x<a

заменим

x

на

a\sin t

, чтобы из

dx

получить множитель

\cos t

. Положим

x=a\sin t, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}

Тогда

dx=a\cos t\,dt

\cos t>0

. Поэтому

\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}} &=\sqrt{\dfrac{1+\sin t}{1-\sin t}} =\sqrt{\dfrac{(1+\sin t)^2}{\cos^2t}} =\dfrac{1+\sin t}{\cos t}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\sqrt{\dfrac{a+x}{a-x}}\,dx &=a\int(1+\sin t)\,dt =a(t-\cos t)+C=\\ &=a\arcsin\dfrac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C\end{aligned}