Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1819

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1819

∫x2+a dx\displaystyle\int\sqrt{x^2+a}\,dx.
Ответ:При a≠0a\ne0x2x2+a+a2ln⁡∣x+x2+a∣+C\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2+a}
+\dfrac{a}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|+CДля a>0a>0 область определения есть R\mathbb R. Для a<0a<0 формула применяется при ∣x∣>−a|x|>\sqrt{-a} и непрерывно продолжается к точкам x=±−ax=\pm\sqrt{-a}; постоянные на двух промежутках выбираются независимо.

При a=0a=0x∣x∣2+C\dfrac{x|x|}{2}+C

Решение

Считаем параметр aa действительным и обозначимs=x2+as=\sqrt{x^2+a}Сначала пусть a≠0a\ne0. На каждом промежутке, где s>0s>0, применим интегрирование по частям:u=s,dv=dxu=s,
\qquad
dv=dxТогдаdu=x dxs,v=x,x2=s2−adu=\dfrac{x\,dx}{s},
\qquad
v=x,
\qquad
x^2=s^2-aПо формуле интегрирования по частямI=∫s dx=xs−∫x2s dx==xs−∫s2−as dx=xs−I+a∫dxs\begin{aligned}
I=\int s\,dx
&=xs-\int\dfrac{x^2}{s}\,dx=\\
&=xs-\int\dfrac{s^2-a}{s}\,dx
=xs-I+a\int\dfrac{dx}{s}
\end{aligned}Переносим −I-I в левую часть и делим обе части на 22:2I=xs+a∫dxs,I=x2s+a2∫dxs2I=xs+a\int\dfrac{dx}{s},
\qquad
I=\dfrac{x}{2}s+\dfrac{a}{2}\int\dfrac{dx}{s}Поскольку a≠0a\ne0, выражение x+sx+s не обращается в нуль на области определения. Кроме того,ddxln⁡∣x+s∣=1+xsx+s=1s\begin{aligned}
\dfrac{d}{dx}\ln|x+s|
&=\dfrac{1+\dfrac{x}{s}}{x+s}
=\dfrac{1}{s}
\end{aligned}Поэтому∫x2+a dx=x2x2+a+a2ln⁡∣x+x2+a∣+C\int\sqrt{x^2+a}\,dx
=\dfrac{x}{2}\sqrt{x^2+a}
+\dfrac{a}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a}\right|+CПри a>0a>0 формула справедлива для всех x∈Rx\in\mathbb R. При a<0a<0 подынтегральная функция принимает действительные значения при ∣x∣⩾−a|x|\geqslant\sqrt{-a}; формула применяется на двух открытых промежутках и непрерывно продолжается к их конечным концам. Постоянные на этих промежутках выбираются независимо.

Если a=0a=0, то x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|, поэтому∫∣x∣ dx=x∣x∣2+C\int|x|\,dx=\dfrac{x|x|}{2}+C