Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1793

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2\,dx

Ответ:

-\dfrac{\ln^2 x+2\ln x+2}{x}+C, \qquad x>0

Решение

Подынтегральная функция определена при

x>0

. Интегрируем по частям: производная

\ln^2x

содержит логарифм лишь в первой степени, а

\dfrac{dx}{x^2}

легко интегрируется. Обозначим исходный интеграл через

I

и положим

u=\ln^2 x, \qquad dv=\dfrac{dx}{x^2}, \qquad du=\dfrac{2\ln x}{x}\,dx, \qquad v=-\dfrac{1}{x}

По формуле интегрирования по частям

I=-\dfrac{\ln^2 x}{x} +2\int\dfrac{\ln x}{x^2}\,dx

Для оставшегося интеграла ещё раз применим интегрирование по частям:

u=\ln x, \qquad dv=\dfrac{dx}{x^2}, \qquad du=\dfrac{dx}{x}, \qquad v=-\dfrac{1}{x}

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{\ln x}{x^2}\,dx &=-\dfrac{\ln x}{x}+\int\dfrac{dx}{x^2} =-\dfrac{\ln x+1}{x}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} I &=-\dfrac{\ln^2 x}{x}-\dfrac{2(\ln x+1)}{x} =-\dfrac{\ln^2 x+2\ln x+2}{x}+C\end{aligned}