Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1822

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int e^{\sqrt x}\,dx

Ответ:

2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}+C, \qquad x>0

Полная область определения подынтегральной функции есть

[0,+\infty)

. Формула непрерывно продолжается в точку

x=0

, и её правая производная в этой точке равна

1

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\geqslant0

. На промежутке

x>0

положим

t=\sqrt{x}, \qquad x=t^2, \qquad dx=2t\,dt

После замены получаем

2\int te^t\,dt

. Множитель

t

исчезает после дифференцирования, поэтому интегрируем по частям с

u=t, \qquad dv=e^t\,dt, \qquad du=dt, \qquad v=e^t

В результате

\begin{aligned} \int e^{\sqrt{x}}\,dx &=2\int te^t\,dt =2\left(te^t-\int e^t\,dt\right)=\\ &=2(t-1)e^t+C =2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}+C\end{aligned}

Полученная формула непрерывно продолжается в точку

x=0

. Более того, если

F(x)=2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}

то при

t=\sqrt{x}\to0+

имеем

\dfrac{F(x)-F(0)}{x} =2\dfrac{(t-1)e^t+1}{t^2}\longrightarrow1

Проверим предел. Для числителя дроби обозначим

g(t)=(t-1)e^t+1, \qquad g(0)=g'(0)=0, \qquad g''(t)=(t+1)e^t

Дважды применяя правило Лопиталя, получаем

\lim_{t\to0+}\dfrac{2g(t)}{t^2} =\lim_{t\to0+}\dfrac{g'(t)}{t} =g''(0)=1

Это равно значению

e^{\sqrt{x}}

при

x=0

, поэтому правая производная продолженной первообразной существует и равна подынтегральной функции.