Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1811

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x^5e^{x^3}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{3}(x^3-1)e^{x^3}+C

Решение

Показатель экспоненты

x^3

подсказывает замену: его дифференциал содержит

x^2\,dx

, а оставшиеся

x^3

станут новой переменной. Положим

u=x^3, \qquad du=3x^2\,dx

Так как

x^5=x^3x^2

, после замены получаем

x^5\,dx=\dfrac{u}{3}\,du, \qquad \int x^5e^{x^3}\,dx=\dfrac{1}{3}\int ue^u\,du

Во вспомогательном интеграле

\int ue^u\,du

берём за дифференцируемый множитель

u

, а

e^u\,du

интегрируем:

\int ue^u\,du =ue^u-\int e^u\,du =(u-1)e^u+C

Следовательно,

\int x^5e^{x^3}\,dx =\dfrac{1}{3}(x^3-1)e^{x^3}+C