Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1808

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

\displaystyle\int x\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx

Ответ:

x+\dfrac{x^2-1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x}+C, \qquad -1<x<1

Решение

В вещественных числах логарифм определён при

\dfrac{1+x}{1-x}>0

откуда

-1<x<1

. На этом промежутке

\left(\ln\dfrac{1+x}{1-x}\right)' =\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x} =\dfrac{2}{1-x^2}

Используем также разложение

x^2=-(1-x^2)+1

\dfrac{x^2}{1-x^2}=-1+\dfrac{1}{1-x^2}

Возьмём логарифм за

u

: его производная уже найдена, а множитель

x\,dx

легко интегрируется. Для интегрирования по частям положим

u=\ln\dfrac{1+x}{1-x}, \qquad dv=x\,dx, \qquad du=\dfrac{2\,dx}{1-x^2}, \qquad v=\dfrac{x^2}{2}

По формуле

\int u\,dv=uv-\int v\,du

получаем

\begin{aligned} \int x\ln\dfrac{1+x}{1-x}\,dx &=\dfrac{x^2}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x} -\int\dfrac{x^2}{1-x^2}\,dx=\\ &=\dfrac{x^2}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x} +\int dx-\int\dfrac{dx}{1-x^2}=\\ &=\dfrac{x^2}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x} +x-\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x}+C=\\ &=x+\dfrac{x^2-1}{2}\ln\dfrac{1+x}{1-x}+C\end{aligned}