Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1784

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя тригонометрические подстановки

x=a\sin t

x=a\tg t

x=a\sin^2t

и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}

Ответ:При

a\ne b

2\dfrac{b-a}{|b-a|} \arcsin\sqrt{\dfrac{x-a}{b-a}}+C, \qquad \min(a,b)\lt x\lt \max(a,b), \qquad a>0,\quad b>0

При

a=b

подынтегральная функция не определена ни при одном действительном

x

Решение

Пусть

a>0

b>0

a\ne b

. Обозначим

\alpha=\min(a,b), \qquad \beta=\max(a,b)

Корень находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

(x-a)(b-x)=(x-\alpha)(\beta-x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha<x<\beta

Согласно указанию положим

x-\alpha=(\beta-\alpha)\sin^2t, \qquad 0<t<\dfrac{\pi}{2}

Тогда

\begin{aligned} \beta-x&=(\beta-\alpha)\cos^2t, &dx&=2(\beta-\alpha)\sin t\cos t\,dt,\\ \sqrt{(x-\alpha)(\beta-x)}&=(\beta-\alpha)\sin t\cos t\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} &=2\int dt=2t+C=\\ &=2\arcsin\sqrt{\dfrac{x-\alpha}{\beta-\alpha}}+C\end{aligned}