Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1824

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти следующие интегралы:

Задача 1824

\displaystyle\int\frac{xe^{\arctg x}}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx

Ответ:

\dfrac{(x-1)e^{\arctg x}}{2\sqrt{1+x^2}}+C

Решение

Показатель

e^{\arctg x}

подсказывает замену

t=\arctg x

: после неё экспонента станет

e^t

, а оставшиеся множители сведутся к синусу. Положим

t=\arctg x, \qquad -\dfrac{\pi}{2}<t<\dfrac{\pi}{2}

Так как

\cos t>0

на выбранном промежутке, имеем

x=\tg t, \qquad dx=\dfrac{dt}{\cos^2t}, \qquad \sqrt{1+x^2}=\dfrac{1}{\cos t}

Поэтому

\int\dfrac{xe^{\arctg x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,dx =\int e^t\sin t\,dt

Для вычисления введём обозначения

K=\int e^t\sin t\,dt, \qquad L=\int e^t\cos t\,dt

В обоих интегралах дифференцируем синус или косинус, а экспоненту интегрируем. Сначала найдём по одной первообразной; постоянную добавим в конце. Получаем

K=e^t\sin t-L, \qquad L=e^t\cos t+K

Подставляя второе равенство в первое, имеем

\begin{aligned} K &=e^t\sin t-\int e^t\cos t\,dt =e^t(\sin t-\cos t)-K\end{aligned}

Отсюда

K=\dfrac{e^t}{2}(\sin t-\cos t)+C

Поскольку

\sin t=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad \cos t=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}

получаем

\int\dfrac{xe^{\arctg x}}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}\,dx =\dfrac{(x-1)e^{\arctg x}}{2\sqrt{1+x^2}}+C