Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1790

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя гиперболические подстановки

x=a\sh t

x=a\ch t

и т. п., найти следующие интегралы (параметры положительны):

\displaystyle\int\sqrt{(x+a)(x+b)}\,dx

Ответ:При

a\ne b

\dfrac{2x+a+b}{4}\sqrt{(x+a)(x+b)} -\dfrac{(a-b)^2}{8} \ln\left| 2x+a+b+2\sqrt{(x+a)(x+b)} \right|+C

на каждом из промежутков

x<-\max(a,b)

x>-\min(a,b)

, с независимыми постоянными. Полная область определения при

a\ne b

есть

\left(-\infty,-\max(a,b)\right] \cup \left[-\min(a,b),+\infty\right)

Формула непрерывно продолжается к обеим допустимым граничным точкам. При

a=b

\dfrac{1}{2}(x+a)|x+a|+C

Во всех случаях предполагается

a>0

b>0

Решение

Пусть

a>0

b>0

. Сначала считаем

a\ne b

и используем обозначения

u=x+\dfrac{a+b}{2}, \qquad d=\dfrac{|b-a|}{2}>0

Тогда

(x+a)(x+b)=u^2-d^2

. На правом промежутке положим

u=d\operatorname{ch}t

, где

t>0

. Поэтому

du=d\operatorname{sh}t\,dt, \qquad \sqrt{u^2-d^2}=d\operatorname{sh}t

Степень гиперболического синуса понизим по формуле

\operatorname{sh}^2t=\dfrac{\operatorname{ch}2t-1}{2}

\begin{aligned} \int\sqrt{u^2-d^2}\,du &=d^2\int\operatorname{sh}^2t\,dt=\\ &=\dfrac{d^2}{2}\int(\operatorname{ch}2t-1)\,dt=\dfrac{d^2}{4}\operatorname{sh}2t-\dfrac{d^2}{2}t+C\end{aligned}

Обозначим

s=\sqrt{u^2-d^2}

. На рассматриваемом правом промежутке

u=d\operatorname{ch}t

s=d\operatorname{sh}t

, поэтому

\operatorname{sh}2t=2\operatorname{sh}t\operatorname{ch}t =\dfrac{2us}{d^2}

Сам

t

выразим с помощью тождества

e^t=\operatorname{ch}t+\operatorname{sh}t

e^t=\dfrac{u+s}{d}, \qquad t=\ln\dfrac{u+s}{d}

Подставляя эти выражения и включая постоянное слагаемое

\frac{d^2}{2}\ln d

C

, получаем при

u>d

\int\sqrt{u^2-d^2}\,du =\dfrac{us}{2}-\dfrac{d^2}{2}\ln(u+s)+C

Чтобы получить формулу и на левом промежутке, введём модуль в логарифме и проверим производную. Рассмотрим

G(u)=\dfrac{1}{2}us-\dfrac{d^2}{2}\ln|u+s|

Так как

s'=u/s

(\ln|u+s|)'=1/s

, то

\begin{aligned} G'(u) &=\dfrac{1}{2}\left(s+\dfrac{u^2}{s}\right) -\dfrac{d^2}{2s} =\dfrac{s^2+u^2-d^2}{2s} =s\end{aligned}

Значит, формула верна как при

u>d

, так и при

u<-d

. При возврате к

x

имеем

u+s=\dfrac{2x+a+b+2\sqrt{(x+a)(x+b)}}{2}

Множитель

\dfrac12

в аргументе логарифма меняет первообразную только на постоянную, которую включаем в

C

. Получаем

\begin{aligned} \int\sqrt{(x+a)(x+b)}\,dx &=\dfrac{2x+a+b}{4}\sqrt{(x+a)(x+b)}-\dfrac{(a-b)^2}{8} \ln\left| 2x+a+b+2\sqrt{(x+a)(x+b)} \right|+C\end{aligned}

Полная область определения подынтегральной функции имеет вид

\left(-\infty,-\max(a,b)\right] \cup \left[-\min(a,b),+\infty\right)

Формула первообразной получена на внутренних открытых промежутках и непрерывно продолжается к допустимым граничным точкам.

Если

a=b

, то

\sqrt{(x+a)^2}=|x+a|

, причём на всей числовой прямой

\int|x+a|\,dx =\dfrac{1}{2}(x+a)|x+a|+C

В точке

x=-a

производная полученной функции равна нулю и совпадает со значением подынтегральной функции.