Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1705

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sh x}

Ответ:

\ln\left|\operatorname{th}\dfrac{x}{2}\right|+C, \qquad x\ne0

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne0

. Положим

t=\operatorname{th}\dfrac{x}{2}

. Тогда

dt=\dfrac{dx}{2\operatorname{ch}^2\dfrac{x}{2}}, \qquad \operatorname{sh}x =2\operatorname{sh}\dfrac{x}{2}\operatorname{ch}\dfrac{x}{2} =2t\operatorname{ch}^2\dfrac{x}{2}

На обоих промежутках

x\ne0

имеем

t\ne0

. Из двух равенств выше следует

\frac{dx}{\operatorname{sh}x}=\frac{dt}{t}

, поэтому

\int\dfrac{dx}{\operatorname{sh}x} =\int\dfrac{dt}{t} =\ln|t|+C =\ln\left|\operatorname{th}\dfrac{x}{2}\right|+C

На промежутках

(-\infty;0)

(0;+\infty)

постоянные интегрирования могут быть различными.