Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1716

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac1{1-x^2}\ln\frac{1+x}{1-x}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{4}\left(\ln\dfrac{1+x}{1-x}\right)^2+C, \qquad -1<x<1

Решение

Для вещественного логарифма должно выполняться

\dfrac{1+x}{1-x}>0

Поэтому область определения подынтегральной функции задаётся неравенством

-1<x<1

. Положим

t=\ln\dfrac{1+x}{1-x}

Тогда

\begin{aligned} dt &=\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1-x}\right)dx =\dfrac{2\,dx}{1-x^2}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{\ln\dfrac{1+x}{1-x}}{1-x^2}\,dx &=\dfrac{1}{2}\int t\,dt =\dfrac{1}{4}t^2+C =\dfrac{1}{4}\left(\ln\dfrac{1+x}{1-x}\right)^2+C\end{aligned}