Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1724

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2}{3+x}\,dx

Ответ:

\dfrac{x^2}{2}-3x+9\ln|x+3|+C, \qquad x\ne-3

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty,-3), \qquad (-3,+\infty)

Решение

При

x\ne-3

выполним деление многочленов:

\begin{aligned} \dfrac{x^2}{3+x} &=\dfrac{(x+3)(x-3)+9}{x+3} =x-3+\dfrac{9}{x+3}\end{aligned}

Следовательно,

\int\dfrac{x^2}{3+x}\,dx =\int(x-3)\,dx+9\int\dfrac{dx}{x+3}

Для второго интеграла положим

u=x+3, \qquad du=dx

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{x^2}{3+x}\,dx &=\dfrac{x^2}{2}-3x+9\int\dfrac{du}{u}=\\ &=\dfrac{x^2}{2}-3x+9\ln|u|+C =\dfrac{x^2}{2}-3x+9\ln|x+3|+C\end{aligned}