Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1684

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}}

Ответ:

\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C

Решение

Попробуем продифференцировать

\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

: производная корня в знаменателе даёт степень

(x^2+1)^{\frac{3}{2}}

, как в исходном интеграле. По правилу производной произведения имеем

\begin{aligned} \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)' &=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} -\dfrac{x^2}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}=\\ &=\dfrac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}} =\dfrac{1}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}\end{aligned}

Следовательно,

\int\dfrac{dx}{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}} =\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+C