Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1690

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{e^x\,dx}{2+e^x}

Ответ:

\ln(2+e^x)+C

Решение

Поскольку

2+e^x>0

для любого действительного

x

, модуль в логарифме не потребуется. Кроме того,

d(2+e^x)=e^x\,dx

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{e^x\,dx}{2+e^x} &=\int\dfrac{d(2+e^x)}{2+e^x} =\ln(2+e^x)+C\end{aligned}