Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1692

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^{2x}}}

Ответ:

x-\ln\left(1+\sqrt{1+e^{2x}}\right)+C

Решение

Выберем

u=e^{-x}

: под корнем появится

1+u^2

, а условие

u>0

позволит раскрыть корень без модуля. Запишем замену вместе с дифференциалом:

u=e^{-x}, \qquad du=-e^{-x}\,dx=-u\,dx

Так как

u>0

, имеем

e^{2x}=\dfrac{1}{u^2}, \qquad \sqrt{1+e^{2x}}=\dfrac{\sqrt{1+u^2}}{u}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{1+e^{2x}}} &=-\int\dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\\ &=-\ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right)+C=\\ &=-\ln\left(e^{-x}+\sqrt{1+e^{-2x}}\right)+C\end{aligned}

Использованную формулу можно проверить дифференцированием:

\left(\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr)\right)' =\dfrac{1+\dfrac{u}{\sqrt{1+u^2}}} {u+\sqrt{1+u^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}}

Вынесем

e^{-x}

из выражения под логарифмом:

e^{-x}+\sqrt{1+e^{-2x}} =e^{-x}\left(1+\sqrt{1+e^{2x}}\right)

Поэтому равносильная и более компактная запись первообразной имеет вид

x-\ln\left(1+\sqrt{1+e^{2x}}\right)+C