Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1727

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2}{(1-x)^{100}}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{99(1-x)^{99}} -\dfrac{1}{49(1-x)^{98}} +\dfrac{1}{97(1-x)^{97}}+C, \qquad x\ne1

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty;1)

(1;+\infty)

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne1

. Знаменатель уже является степенью

1-x

. Представим через это выражение и числитель, чтобы после замены интегрировать только степени одной переменной:

\begin{aligned} x^2 &=\left(1-(1-x)\right)^2 =1-2(1-x)+(1-x)^2\end{aligned}

Поэтому

\begin{aligned} \dfrac{x^2}{(1-x)^{100}} &=\dfrac{1}{(1-x)^{100}} -\dfrac{2}{(1-x)^{99}} +\dfrac{1}{(1-x)^{98}}\end{aligned}

Положим

u=1-x, \qquad du=-dx

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{x^2\,dx}{(1-x)^{100}} &=-\int\left( u^{-100}-2u^{-99}+u^{-98} \right)\,du=\\ &=\dfrac{1}{99u^{99}} -\dfrac{1}{49u^{98}} +\dfrac{1}{97u^{97}}+C=\\ &=\dfrac{1}{99(1-x)^{99}} -\dfrac{1}{49(1-x)^{98}} +\dfrac{1}{97(1-x)^{97}}+C\end{aligned}