Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1694

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}

Ответ:

\ln|\ln(\ln x)|+C, \qquad x\in(1,e)\cup(e,+\infty)

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Чтобы выражение

\ln(\ln x)

было определено, необходимо

\ln x>0

, то есть

x>1

. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль:

\ln(\ln x)\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln x\ne1 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne e

Следовательно, область определения состоит из промежутков

(1,e)

(e,+\infty)

. Положим

u=\ln(\ln x), \qquad du=\dfrac{dx}{x\ln x}

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)} &=\int\dfrac{du}{u} =\ln|u|+C =\ln|\ln(\ln x)|+C\end{aligned}

На каждом из двух промежутков области определения постоянная

C

выбирается независимо.