Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1723

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2}{1+x}\,dx

Ответ:

\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C, \qquad x\ne-1

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty,-1), \qquad (-1,+\infty)

Решение

При

x\ne-1

выполним деление многочленов:

\begin{aligned} \dfrac{x^2}{1+x} &=\dfrac{(x+1)(x-1)+1}{x+1} =x-1+\dfrac{1}{x+1}\end{aligned}

Отсюда

\int\dfrac{x^2}{1+x}\,dx =\int(x-1)\,dx+\int\dfrac{dx}{x+1}

Для второго интеграла положим

u=x+1, \qquad du=dx

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{x^2}{1+x}\,dx &=\dfrac{x^2}{2}-x+\int\dfrac{du}{u}=\\ &=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|u|+C =\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C\end{aligned}