Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1696

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1696

∫sin⁡xcos⁡3x dx\displaystyle\int\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^3x}}\,dx.
Ответ:2cos⁡x+C,cos⁡x>0\dfrac{2}{\sqrt{\cos x}}+C,
\qquad
\cos x>0На каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Поскольку квадратный корень находится в знаменателе, для вещественного интеграла необходимоcos⁡x>0\cos x>0Положимu=cos⁡x,du=−sin⁡x dxu=\cos x,
\qquad
du=-\sin x\,dxНа области определения u>0u>0, поэтому∫sin⁡x dxcos⁡3x=−∫u−32 du==2u−12+C=2cos⁡x+C\begin{aligned}
\int\dfrac{\sin x\,dx}{\sqrt{\cos^3x}}
&=-\int u^{-\frac{3}{2}}\,du=\\
&=2u^{-\frac{1}{2}}+C
=\dfrac{2}{\sqrt{\cos x}}+C
\end{aligned}Связные промежутки области определения имеют вид(−π2+2πk,π2+2πk),k∈Z\left(
-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,
\dfrac{\pi}{2}+2\pi k
\right),
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждом из них постоянная CC выбирается независимо.
Демидович № 1696 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика