Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1709

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\arctg x}{1+x^2}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2}(\operatorname{arctg}x)^2+C

Решение

Множитель

\frac{dx}{1+x^2}

является дифференциалом

\operatorname{arctg}x

. Поэтому замена

t=\operatorname{arctg}x

превращает числитель в

t

, а весь множитель

\frac{dx}{1+x^2}

— в

dt

. Запишем замену:

t=\operatorname{arctg}x, \qquad dt=\dfrac{dx}{1+x^2}

Получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{\operatorname{arctg}x}{1+x^2}\,dx &=\int t\,dt =\dfrac{t^2}{2}+C =\dfrac{1}{2}(\operatorname{arctg}x)^2+C\end{aligned}