Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1704

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\cos x}

Ответ:

\ln\left|\dfrac{1}{\cos x}+\tg x\right|+C, \qquad x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi

k\in\mathbb Z

. Чтобы получить логарифмическую производную, обозначим

g(x)=\dfrac{1}{\cos x}+\tg x

. Тогда

g'(x)=\dfrac{\sin x+1}{\cos^2x} =\dfrac{1}{\cos x}\,g(x)

Нужно убедиться, что деление на

g(x)

допустимо. На области определения

\left(\dfrac{1}{\cos x}+\tg x\right) \left(\dfrac{1}{\cos x}-\tg x\right) = \dfrac{1}{\cos^2x}-\tg^2x =1

Следовательно,

\dfrac{1}{\cos x}+\tg x\ne0

g(x)\ne0

. Следовательно,

\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{1}{\cos x}

, то есть

\int\dfrac{dx}{\cos x} =\ln|g(x)|+C =\ln\left|\dfrac{1}{\cos x}+\tg x\right|+C

На каждом промежутке области определения постоянная интегрирования выбирается независимо.