Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1703

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x}

Ответ:

\ln\left|\tg\dfrac{x}{2}\right|+C, \qquad x\ne k\pi, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne k\pi

k\in\mathbb Z

. Используем замену половинного угла

t=\tg\dfrac{x}{2}, \qquad dt=\dfrac{dx}{2\cos^2\dfrac{x}{2}}

На каждом промежутке

(k\pi;(k+1)\pi)

функция

t

определена и не обращается в нуль. Из

\sin x=2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}

получаем

\sin x=2t\cos^2\dfrac{x}{2}, \qquad \dfrac{dx}{\sin x}=\dfrac{dt}{t}

Поэтому

\int\dfrac{dx}{\sin x} =\int\dfrac{dt}{t} =\ln|t|+C =\ln\left|\tg\dfrac{x}{2}\right|+C

На разных промежутках

(k\pi;(k+1)\pi)

постоянные интегрирования могут быть различными.