Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1682

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1682

∫dxxx2+1\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}.
Ответ:ln⁡∣x1+x2+1∣+C,x≠0\ln\left|\dfrac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}\right|+C,
\qquad
x\ne0Постоянная CC выбирается независимо на промежутках (−∞,0)(-\infty,0) и (0,+∞)(0,+\infty).

Решение

Подынтегральная функция определена при x≠0x\ne0. При этомx2+1>1\sqrt{x^2+1}>1Умножим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на xx. Это допустимо, так как x≠0x\ne0. Посколькуd(x2+1)=x dxx2+1d\left(\sqrt{x^2+1}\right)
=\dfrac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}получаем∫dxxx2+1=∫x dxx2x2+1==∫d(x2+1)(x2+1)2−1\begin{aligned}
\int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}
&=\int\dfrac{x\,dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}=\\
&=\int\dfrac{d\left(\sqrt{x^2+1}\right)}
{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2-1}
\end{aligned}Используем алгебраическое тождество1z2−1=12(1z−1−1z+1)\dfrac{1}{z^2-1}
=\dfrac{1}{2}\left(
\dfrac{1}{z-1}-\dfrac{1}{z+1}
\right)Поэтому∫dxxx2+1=12ln⁡x2+1−1x2+1+1+C\int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}
=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}
{\sqrt{x^2+1}+1}+CМодуль в этом логарифме не нужен, поскольку x2+1>1\sqrt{x^2+1}>1. Кроме того,(x2+1−1)(x2+1+1)=x2\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)
\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)=x^2Следовательно,12ln⁡x2+1−1x2+1+1=12ln⁡x2(x2+1+1)2==ln⁡∣x1+x2+1∣\begin{aligned}
\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}
{\sqrt{x^2+1}+1}
&=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{x^2}
{\left(\sqrt{x^2+1}+1\right)^2}=\\
&=\ln\left|\dfrac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}\right|
\end{aligned}
Демидович № 1682 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика