Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1715

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1715

\displaystyle\int\frac{x^{n/2}\,dx}{\sqrt{1+x^{n+2}}}

Ответ:При

n\ne-2

на любом промежутке области определения

\dfrac{2}{n+2} \ln\left(x^{\frac{n+2}{2}}+\sqrt{1+x^{n+2}}\right)+C

При

n=-2

\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ln|x|+C, \qquad x\ne0

Решение

Считаем

n

фиксированным параметром. Все преобразования выполняем на промежутке, где все вещественные степени в исходном интеграле определены и дифференцируемы. Сначала рассмотрим случай

n\ne-2

и положим

t=x^{\frac{n+2}{2}}

Тогда

t^2=x^{n+2}

dt=\dfrac{n+2}{2}x^{\frac{n}{2}}\,dx

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^{\frac{n}{2}}\,dx}{\sqrt{1+x^{n+2}}} &=\dfrac{2}{n+2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\\ &=\dfrac{2}{n+2}\ln\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)+C=\\ &=\dfrac{2}{n+2} \ln\left(x^{\frac{n+2}{2}}+\sqrt{1+x^{n+2}}\right)+C\end{aligned}

При

n=-2

интеграл вычисляется отдельно:

\begin{aligned} \int\dfrac{x^{-1}\,dx}{\sqrt{1+x^0}} &=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\int\dfrac{dx}{x}=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ln|x|+C\end{aligned}