Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1698

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1698

∫ctg⁡x dx\displaystyle\int\ctg x\,dx.
Ответ:ln⁡∣sin⁡x∣+C,x≠πk,k∈Z\ln|\sin x|+C,
\qquad
x\ne\pi k,
\quad
k\in\mathbb ZНа каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Представим котангенс в виде отношения косинуса и синуса:ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}Положимu=sin⁡x,du=cos⁡x dxu=\sin x,
\qquad
du=\cos x\,dxТогда∫ctg⁡x dx=∫duu=ln⁡∣u∣+C=ln⁡∣sin⁡x∣+C\begin{aligned}
\int\ctg x\,dx
&=\int\dfrac{du}{u}
=\ln|u|+C
=\ln|\sin x|+C
\end{aligned}Подынтегральная функция не определена при x=πkx=\pi k. Связные промежутки области определения имеют вид(πk,π(k+1)),k∈Z\bigl(\pi k,\pi(k+1)\bigr),
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждом из них постоянная CC выбирается независимо.
Демидович № 1698 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика