Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1710

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{(\arcsin x)^2\sqrt{1-x^2}}

Ответ:

-\dfrac{1}{\arcsin x}+C, \qquad x\in(-1;0)\cup(0;1)

Решение

Для вещественного интеграла необходимо

-1<x<1

. Кроме того,

\arcsin x\ne0

, поэтому

x\ne0

. Положим

t=\arcsin x

: его производная даёт множитель

\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

, а остальная часть дроби превращается в

\frac{1}{t^2}

. Так как

d(\arcsin x)=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}},

то

\begin{aligned} \int \dfrac{dx}{ (\arcsin x)^2\sqrt{1-x^2} } &= \int\dfrac{d(\arcsin x)}{(\arcsin x)^2}=\\ &=-\dfrac{1}{\arcsin x}+C\end{aligned}

На промежутках

(-1;0)

(0;1)

постоянные интегрирования могут быть различными.