Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1721

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

Задача 1721

а) ∫x2(2−3x2)2 dx\displaystyle\int x^2(2-3x^2)^2\,dx; б) ∫x(1−x)10 dx\displaystyle\int x(1-x)^{10}\,dx.
Ответ:а)4x33−12x55+9x77+Cб)−(1−x)1111+(1−x)1212+C\begin{aligned}
\text{а)}\quad
&\dfrac{4x^3}{3}-\dfrac{12x^5}{5}
+\dfrac{9x^7}{7}+C
\\
\text{б)}\quad
&-\dfrac{(1-x)^{11}}{11}
+\dfrac{(1-x)^{12}}{12}+C
\end{aligned}

Решение

а) Раскроем скобки в подынтегральном выражении:x2(2−3x2)2=x2(4−12x2+9x4)=4x2−12x4+9x6\begin{aligned}
x^2(2-3x^2)^2
&=x^2(4-12x^2+9x^4)
=4x^2-12x^4+9x^6
\end{aligned}Поэтому∫x2(2−3x2)2 dx=∫(4x2−12x4+9x6) dx==4x33−12x55+9x77+C\begin{aligned}
\int x^2(2-3x^2)^2\,dx
&=\int(4x^2-12x^4+9x^6)\,dx=\\
&=\dfrac{4x^3}{3}-\dfrac{12x^5}{5}
+\dfrac{9x^7}{7}+C
\end{aligned}б) Чтобы интегрировать степени 1−x1-x одной заменой, представим и множитель xx через 1−x1-x:x=1−(1−x)x=1-(1-x)Здесь d(1−x)=−dxd(1-x)=-dx, поэтому при интегрировании каждого слагаемого возникает минус. Тогда∫x(1−x)10 dx=∫((1−x)10−(1−x)11) dx==−(1−x)1111+(1−x)1212+C\begin{aligned}
\int x(1-x)^{10}\,dx
&=\int\left((1-x)^{10}-(1-x)^{11}\right)\,dx=\\
&=-\dfrac{(1-x)^{11}}{11}
+\dfrac{(1-x)^{12}}{12}+C
\end{aligned}
Демидович № 1721 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика