Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1686

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^2\,dx}{(8x^3+27)^{2/3}}

Ответ:

\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{8x^3+27}+C, \qquad x\ne-\dfrac{3}{2}

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

\left(-\infty,-\dfrac{3}{2}\right) \qquad\text{и}\qquad \left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)

Решение

Дробная степень в знаменателе понимается в вещественном смысле:

(8x^3+27)^{\frac{2}{3}} =\left(\sqrt[3]{8x^3+27}\right)^2

Подведём выражение под знак дифференциала:

d(8x^3+27)=24x^2\,dx

При

x\ne-\dfrac{3}{2}

положим

u=8x^3+27

. Тогда интеграл сводится к степенному:

\int u^{-\frac23}\,du=3u^{\frac13}+C

. С учётом множителя

\frac1{24}

получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x^2\,dx}{(8x^3+27)^{\frac{2}{3}}} &=\dfrac{1}{24}\int\dfrac{d(8x^3+27)} {(8x^3+27)^{\frac{2}{3}}}=\\ &=\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{8x^3+27}+C\end{aligned}