Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1699

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}\,dx

Ответ:

\dfrac{3}{2} \sqrt[3]{(\sin x-\cos x)^2}+C, \qquad x\ne\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \quad k\in\mathbb Z

На каждом промежутке области определения постоянная

C

выбирается независимо.

Решение

Положим

u=\sin x-\cos x, \qquad du=(\cos x+\sin x)\,dx

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}}\,dx &=\int u^{-\frac{1}{3}}\,du=\\ &=\dfrac{3}{2}u^{\frac{2}{3}}+C =\dfrac{3}{2} \sqrt[3]{(\sin x-\cos x)^2}+C\end{aligned}

Здесь степень

u^{\frac{2}{3}}

понимается как квадрат действительного кубического корня:

u^{\frac{2}{3}} =\left(\sqrt[3]{u}\right)^2 =\sqrt[3]{u^2}

Поэтому использованная формула верна и при

u<0

.

Кубический корень существует при всех вещественных значениях подкоренного выражения, однако знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому

\sin x-\cos x\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \qquad k\in\mathbb Z

Связные промежутки области определения имеют вид

\left( \dfrac{\pi}{4}+\pi k, \dfrac{\pi}{4}+\pi(k+1) \right), \qquad k\in\mathbb Z

На каждом из них постоянная

C

выбирается независимо.