Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1720

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}}}

Ответ:

2\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}+C

Решение

Положим

t=\sqrt{1+x^2}

. Тогда

t>0

x\,dx=t\,dt

. Знаменатель преобразуется так:

\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}}=\sqrt{t^2+t^3}=t\sqrt{1+t}

Следовательно,

\int\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{(1+x^2)^3}}}=\int\dfrac{dt}{\sqrt{1+t}}=2\sqrt{1+t}+C

Возвращаясь к

x

, получаем

2\sqrt{1+\sqrt{1+x^2}}+C

. Формула справедлива при всех действительных

x