Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1711

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\sqrt{\frac{\ln(x+\sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}\,dx

Ответ:

\dfrac{2}{3}\left[\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right]^{\frac{3}{2}}+C, \qquad x\geqslant0

Решение

Так как

\sqrt{1+x^2}>|x|

, аргумент логарифма положителен при всех

x\in\mathbb R

. Положим

t=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

Действительно, по правилу производной логарифма

\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) &=\dfrac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\end{aligned}

имеем

dt=\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}

Функция

t

возрастает и обращается в нуль при

x=0

, поэтому в вещественных числах подынтегральная функция определена при

x\geqslant0

. На этой области

t\geqslant0

, и

\begin{aligned} \int\sqrt{\dfrac{\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}{1+x^2}}\,dx &=\int\sqrt{t}\,dt=\\ &=\dfrac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C =\dfrac{2}{3}\left[\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right]^{\frac{3}{2}}+C\end{aligned}