Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1679

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^3\,dx}{x^8-2}

Ответ:

\dfrac{1}{8\sqrt{2}} \ln\left| \dfrac{x^4-\sqrt{2}}{x^4+\sqrt{2}} \right|+C, \qquad x\ne\pm\sqrt[8]{2}

Решение

Подведём выражение

x^4

под знак дифференциала:

x^3\,dx=\dfrac14\,d(x^4)

Используем табличную формулу

\int\dfrac{dt}{t^2-a^2} =\dfrac{1}{2a} \ln\left|\dfrac{t-a}{t+a}\right|+C

Применяя её к выражению

x^4

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{x^3\,dx}{x^8-2} &=\dfrac14\int \dfrac{d(x^4)}{(x^4)^2-(\sqrt{2})^2}=\\ &=\dfrac{1}{8\sqrt{2}} \ln\left| \dfrac{x^4-\sqrt{2}}{x^4+\sqrt{2}} \right|+C\end{aligned}

Подынтегральная функция не определена при

x=\pm\sqrt[8]{2}

. На каждом из трёх промежутков области определения постоянная интегрирования выбирается независимо.