Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1719

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{2^x\cdot3^x}{9^x-4^x}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2\ln\dfrac{3}{2}} \ln\left|\dfrac{3^x-2^x}{3^x+2^x}\right|+C, \qquad x\ne0

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne0

, поскольку равенство

9^x=4^x

выполняется только при

x=0

. Положим

t=\left(\dfrac{3}{2}\right)^x, \qquad dt=t\ln\dfrac{3}{2}\,dx

В числителе стоит

2^x3^x=6^x

. Деление на

6^x>0

превращает знаменатель в разность взаимно обратных степеней, которую можно выразить через

t

\begin{aligned} \dfrac{2^x3^x}{9^x-4^x} &=\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^x- \left(\dfrac{2}{3}\right)^x} =\dfrac{t}{t^2-1}\end{aligned}

Так как

dx=\frac{dt}{t\ln\frac{3}{2}}

, множитель

t

из дроби сокращается. Остаётся разложить

\frac{1}{t^2-1}

на простейшие:

\dfrac{1}{t^2-1} =\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1} \right)

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{2^x3^x}{9^x-4^x}\,dx &=\dfrac{1}{\ln\dfrac{3}{2}}\int\dfrac{dt}{t^2-1}=\\ &=\dfrac{1}{2\ln\dfrac{3}{2}} \ln\left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|+C=\\ &=\dfrac{1}{2\ln\dfrac{3}{2}} \ln\left|\dfrac{3^x-2^x}{3^x+2^x}\right|+C\end{aligned}