Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1708

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\ch^2x\sqrt[3]{\tanh^2x}}

Ответ:

3\sqrt[3]{\operatorname{th}x}+C, \qquad x\ne0

Решение

Знаменатель обращается в нуль только при

x=0

, поэтому область определения состоит из промежутков

(-\infty;0)

(0;+\infty)

. Положим

t=\operatorname{th}x

. Тогда

dt=\dfrac{dx}{\operatorname{ch}^2x}

Получается интеграл

\int\dfrac{dt}{\sqrt[3]{t^2}}

. При

t\ne0

его первообразная равна

3\sqrt[3]{t}

, поскольку

\bigl(3\sqrt[3]{t}\bigr)'=\dfrac{1}{\sqrt[3]{t^2}}

. Здесь кубический корень действительный, так что это верно и при

t<0

. Поэтому

\begin{aligned} \int \dfrac{dx}{ \operatorname{ch}^2x \sqrt[3]{\operatorname{th}^2x} } &=\int\dfrac{dt}{\sqrt[3]{t^2}}=\\ &=3\sqrt[3]{\operatorname{th}x}+C\end{aligned}

На двух промежутках области определения постоянные интегрирования могут быть различными.