Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1713

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1713

\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^4+1}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \ln\dfrac{x^2-\sqrt{2}\,x+1}{x^2+\sqrt{2}\,x+1}+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Используем разложение

x^4+1=\left(x^2-\sqrt{2}\,x+1\right) \left(x^2+\sqrt{2}\,x+1\right)

Оба квадратичных множителя положительны при всех

x\in\mathbb R

. Представим дробь в виде

\begin{aligned} \dfrac{x^2-1}{x^4+1} &=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left( \dfrac{2x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}\,x+1} -\dfrac{2x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}\,x+1} \right)\end{aligned}

Коэффициенты в числителях подобраны так, чтобы числитель каждой дроби совпадал с производной соответствующего знаменателя. После приведения к общему знаменателю её числитель равен

2\sqrt2(x^2-1)

; множитель

\frac{1}{2\sqrt2}

даёт исходный числитель. Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{x^2-1}{x^4+1}\,dx &=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left( \ln\left(x^2-\sqrt{2}\,x+1\right) -\ln\left(x^2+\sqrt{2}\,x+1\right) \right)+C=\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \ln\dfrac{x^2-\sqrt{2}\,x+1}{x^2+\sqrt{2}\,x+1}+C\end{aligned}