Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1718

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sin x\cos x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}(2\sin^2x-1)+C, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Знаменатель

\sin^4x+\cos^4x

положителен при всех

x\in\mathbb R

. Положим

t=\sin^2x, \qquad dt=2\sin x\cos x\,dx

При этом

\cos^2x=1-t

. Кроме того,

\begin{aligned} t^2+(1-t)^2 &=2t^2-2t+1 =\dfrac{(2t-1)^2+1}{2}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{\sin x\cos x}{\sin^4x+\cos^4x}\,dx &=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dt}{t^2+(1-t)^2} =\int\dfrac{dt}{(2t-1)^2+1}=\\ &=\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}(2t-1)+C =\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}(2\sin^2x-1)+C\end{aligned}