Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1681

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\sin\frac1x\cdot\frac{dx}{x^2}

Ответ:

\cos\dfrac{1}{x}+C, \qquad x\ne0

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty,0)

(0,+\infty)

Решение

При

x\ne0

имеем

d\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{dx}{x^2}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\sin\dfrac{1}{x}\,\dfrac{dx}{x^2} &=-\int\sin\dfrac{1}{x}\, d\left(\dfrac{1}{x}\right)=\\ &=\cos\dfrac{1}{x}+C\end{aligned}