Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1722

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{1+x}{1-x}\,dx

Ответ:

-x-2\ln|1-x|+C, \qquad x\ne1

Постоянная

C

выбирается независимо на промежутках

(-\infty;1)

(1;+\infty)

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne1

. Разложим дробь:

\begin{aligned} \dfrac{1+x}{1-x} &=\dfrac{-(1-x)+2}{1-x} =-1+\dfrac{2}{1-x}\end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} \int\dfrac{1+x}{1-x}\,dx &=-x+2\int\dfrac{dx}{1-x}\end{aligned}

В оставшемся интеграле положим

u=1-x, \qquad du=-dx

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{1+x}{1-x}\,dx &=-x-2\int\dfrac{du}{u} =-x-2\ln|u|+C=\\ &=-x-2\ln|1-x|+C\end{aligned}