Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1693

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\ln^2x}{x}\,dx

Ответ:

\dfrac{\ln^3x}{3}+C, \qquad x>0

Решение

Для вещественного логарифма необходимо

x>0

. Производная

\ln x

равна

\frac1x

, а в интеграле уже есть множитель

\frac{dx}{x}

. Поэтому сделаем замену

u=\ln x, \qquad du=\dfrac{dx}{x}

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{\ln^2x}{x}\,dx &=\int u^2\,du =\dfrac{u^3}{3}+C =\dfrac{\ln^3x}{3}+C\end{aligned}