Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1688

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}

Ответ:

\arcsin(2x-1)+C, \qquad 0<x<1

Решение

Подынтегральная функция определена при

0<x<1

. Выделим полный квадрат, чтобы привести знаменатель к виду

\sqrt{1-u^2}

, первообразной которого служит арксинус:

x(1-x)=\dfrac{1-(2x-1)^2}{4}

Следовательно,

\sqrt{x(1-x)} =\dfrac{1}{2}\sqrt{1-(2x-1)^2}

При

0<x<1

выполняется

-1<2x-1<1

. Поскольку

d(2x-1)=2\,dx

, получаем

\begin{aligned} \int\dfrac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} &=\int\dfrac{d(2x-1)} {\sqrt{1-(2x-1)^2}}=\\ &=\arcsin(2x-1)+C\end{aligned}