Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1707

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{\sh x\ch x}{\sqrt{\sh^4x+\ch^4x}}\,dx

Ответ:

\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\left( \operatorname{ch}2x +\sqrt{\operatorname{ch}^2(2x)+1} \right)+C

Решение

Чтобы получить знаменатель вида

\sqrt{t^2+1}

, выразим сумму четвёртых степеней через

\operatorname{ch}2x

. Для этого используем

a^2+b^2=\dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}

при

a=\operatorname{ch}^2x

b=\operatorname{sh}^2x

\begin{aligned} \operatorname{sh}^4x+\operatorname{ch}^4x &=\dfrac{(\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x)^2 +(\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x)^2}{2}=\\ &=\dfrac{\operatorname{ch}^2(2x)+1}{2}\end{aligned}

Положим

t=\operatorname{ch}2x

. Тогда

dt=4\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x\,dx

, поэтому

\int\dfrac{\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x\,dx} {\sqrt{\operatorname{sh}^4x+\operatorname{ch}^4x}} =\dfrac{1}{2\sqrt2}\int\dfrac{dt}{\sqrt{t^2+1}}

Последний интеграл равен

\ln(t+\sqrt{t^2+1})+C

: производная логарифма даёт

\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}

. Так как

t=\operatorname{ch}2x\geqslant1

, аргумент логарифма положителен. Возвращаясь к

x

, получаем

\dfrac{1}{2\sqrt2} \ln\left( \operatorname{ch}2x +\sqrt{\operatorname{ch}^2(2x)+1} \right)+C

Подынтегральная функция определена при всех действительных

x