Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1697

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

Задача 1697

∫tg⁡x dx\displaystyle\int\tg x\,dx.
Ответ:−ln⁡∣cos⁡x∣+C,x≠π2+πk,k∈Z-\ln|\cos x|+C,
\qquad
x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k,
\quad
k\in\mathbb ZНа каждом промежутке области определения постоянная CC выбирается независимо.

Решение

Представим тангенс в виде отношения синуса и косинуса:tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}Положимu=cos⁡x,du=−sin⁡x dxu=\cos x,
\qquad
du=-\sin x\,dxТогда∫tg⁡x dx=−∫duu=−ln⁡∣u∣+C=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\begin{aligned}
\int\tg x\,dx
&=-\int\dfrac{du}{u}
=-\ln|u|+C
=-\ln|\cos x|+C
\end{aligned}Подынтегральная функция не определена при x=π2+πkx=\dfrac{\pi}{2}+\pi k. Поэтому связными промежутками области определения являются(−π2+πk,π2+πk),k∈Z\left(
-\dfrac{\pi}{2}+\pi k,
\dfrac{\pi}{2}+\pi k
\right),
\qquad
k\in\mathbb ZНа каждом из них постоянная CC выбирается независимо.
Демидович № 1697 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика