Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1714

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Путём надлежащего преобразования подынтегрального выражения найти следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{x^4\,dx}{(x^5+1)^4}

Ответ:

-\dfrac{1}{15(x^5+1)^3}+C, \qquad x\ne-1

Решение

Подынтегральная функция определена при

x\ne-1

. Положим

t=x^5+1, \qquad dt=5x^4\,dx

Тогда

\begin{aligned} \int\dfrac{x^4\,dx}{(x^5+1)^4} &=\dfrac{1}{5}\int t^{-4}\,dt =-\dfrac{1}{15t^3}+C =-\dfrac{1}{15(x^5+1)^3}+C\end{aligned}