Раздел III. Неопределённый интеграл — § 1. Простейшие неопределённые интегралы

Демидович — задача 1725

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Применяя метод разложения, вычислить следующие интегралы:

\displaystyle\int\frac{(1+x)^2}{1+x^2}\,dx

Ответ:

x+\ln(x^2+1)+C

Решение

Раскроем скобки и выделим целую часть дроби:

\begin{aligned} \dfrac{(1+x)^2}{1+x^2} &=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+1} =1+\dfrac{2x}{x^2+1}\end{aligned}

При всех

x\in\mathbb R

имеем

x^2+1>0

.

Поэтому модуль в логарифме не потребуется.

Для второго слагаемого положим

u=x^2+1, \qquad du=2x\,dx

Поэтому

\begin{aligned} \int\dfrac{(1+x)^2}{1+x^2}\,dx &=x+\int\dfrac{du}{u} =x+\ln u+C =x+\ln(x^2+1)+C\end{aligned}